La teoría fractal es una herramienta necesaria para estudiar sistemas dinámicos
Si la teoría del caos representa la evolución temporal de un sistema dinámico, la geometría fractal equivale al desarrollo espacial de tales sistemas.
Introducción: ¿Qué es un fractal?
La teoría fractal es útil para describir, medir y representar ciertos objetos de la naturaleza o del laboratorio, que sean autosimilares a muchos niveles de escala. Es una herramienta multidisciplinar utilizada en la botánica, en la geografía, en las ciencias sociales o en la cosmología.
Referencias y lecturas complementarias
1.- Ver el artículo «Benoit Mandelbrot» en la Wikipedia
2.-Formas claramente regulares encontradas en el «medio natural»
3.1.- LA CURVA DE KOCH
Los fractales están muy conectados a los sistemas dinámicos a través del concepto de iteración. Se forman por un proceso iterativo que recuerda la iteración que se realiza en el mapa logístico. Un ejemplo es la curva de Koch, cuyo procedimiento de creación es el siguiente:
Los parámetros que definen este fractal son: el nivel de iteración; el número de segmentos que se forman en cada nivel de iteración; la longitud del segmento creado y finalmente, la longitud de la curva generada en cada iteración:
En NETLOGO hay un modelo sencillo para la construcción de la curva de Koch, que puede descargarse «aquí«. Mi transcripción es N03.- KochCurve.
Referencias y lecturas complementarias
1.- Ver el artículo «Copo de nieve de Koch«
3.2.- CONCEPTO DE DIMENSIÓN
En geometría, en física y en ciencias aplicadas, la dimensión de un objeto se define informalmente como el número mínimo de coordenadas, (direcciones), necesarias para especificar cualquier punto del objeto.
3.3.- CONCEPTO DE FRAGMENTACIÓN
La construcción fractal se basa en obtener fragmentos de cada uno de los segmentos que forman el objeto ya sea haciendo una bisección, esto es, cortar el segmento por la mitad para obtener copias de él, con una trisección, cortándolo en tres partes iguales:
3.4.- DIMENSIÓN FRACTAL: DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE DIMENSIÓN
En la teoría fractal, la dimensión fractal, D, es un número real que generaliza el concepto de dimensión ordinaria:
La dimensión fractal D generaliza el concepto de dimensión:
Referencias y lecturas complementarias
1.- Ver el artículo sobre «Felix Hausdorff»
3.5.- OTROS FRACTALES Y SU DIMENSIÓN
El modelo de NETLOGO ExamplesOfFractals que puede descargarse aquí, (mi transcripción es N03.- ExamplesOfFractals) muestra el desarrollo iterativo, el número de copias N, la reducción M, la longitud del fractal L y la dimensión de Hausdofff D = log(N)/log(M), para los siguientes cinco fractales:
Referencias y lecturas complementarias
2.-«Conjunto de Cantor»
3.- «Curva de Lévy C«. También muestra el «Sistema de Lindenmayer» (Sistema-L) para la construcción de un fractal.
4.-«Curva del dragón«
5.-«Árbol fractal»
3.6.- FRACTALES EN EL MUNDO REAL
Referencias y lecturas complementarias
1.- «¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?»
2.- Fractales por dimensión de Hausdorff. Artículo anexo en Wikipedia
3.7.- DIMENSIÓN FRACTAL: POR CUENTA DE CAJAS
La dimensión fractal matemática, dimensión de Hausdorff, definida como D = log(número de copias del nivel previo) / log (factor de reducción del nivel previo), no es útil para los objetos del mundo real. Aún así, la longitud de estos objetos depende de la longitud del instrumento o de la unidad de medida que tomemos.
En la teoría fractal, un método adecuado para obtener la dimensión fractal de estos objetos es la cuenta de cajas, cuya idea es contabilizar el número de cuadriculas que tiene su contorno a medida que disminuimos el tamaño de dicha cuadrícula.
El modelo de NetLogo BoxCountingDimension.nlogo muestra método de la cuenta de cajas para los seis fractales de ejemplo. Puede descargarse aquí. Este otro modelo, BoxCountingApplied.nlogo, puede usarse para cualquier objeto que el usuario quiera medir su dimensión fractal.
Mis transcripciones respectivas son N03.- BoxCountingDimension; N03.- BoxCountingApplied
