Autores y Licencias de las imágenes

Flujo de Anosov

Autores: Étienne Ghys, Jos Leys
Licencia CC BY-NC-SA-3.0

Explicar esta imagen en unas pocas líneas es muy difícil. Se puede encontrar más información en este artículo.

Esta imagen pertenece a la película “Dimensiones, un paseo por las matemáticas” en alta resolución.

¡Una película para todos los públicos!

Nueve capítulos, dos horas de matemáticas, que le llevarán poco a poco hasta la cuarta dimensión. ¡Garantizado el vértigo matemático! 

En un capítulo, Hiparco nos muestra cómo describir la posición de cualquier punto de la Tierra con dos números y explica la proyección estereográfica. En otro capítulo, el matemático Ludwig Schläfli habla de objetos que viven en la cuarta dimensión, y muestra un desfile de politopos cuatridimensionales, ¡objetos extraños con 24, 120 y hasta 600 caras!

Producción:
Jos Leys (Gráficos y animaciones)
Étienne Ghys (Guión y matemáticas)
Aurélien Alvarez (Realización y post-producción).

Más información: http://www.dimensions-math.org/Dim_ES.htm

“Previsibilidad: ¿puede el batir de las alas de una mariposa en Brasil causar un tornado en Texas?”
En 1963, Edward Lorenz (1917-2008), muy interesado en el problema de la convección en la atmósfera terrestre, simplificó drásticamente las ecuaciones de la mecánica de fluidos de NavierStokes, conocidas por su intrincada complejidad.
El modelo atmosférico de Lorenz es lo que los físicos suelen llamar un modelo de juguete: aunque está tan simplificado que ya no tiene mucho que ver con la realidad. Lorenz pronto se dio cuenta de que este modelo era muy interesante. Si consideramos dos atmósferas casi idénticas (dos puntos extremadamente próximos en el modelo de Lorenz), tendemos a ver rápidamente la separación de las dos evoluciones de manera significativa: las dos atmósferas se vuelven completamente diferentes. Lorenz vio en su modelo la dependencia sensible de las condiciones iniciales: el caos. Además, lo que es muy interesante es que, partiendo de un gran número de atmósferas virtuales, aunque sigan caminos que parecen un poco locos e impredecibles, todas se acumulan en un mismo objeto con forma de mariposa, un extraño atractor.

Icosaedro fractal

Autores: Aubin Arroyo, Bianca Violet
Licencia CC BY-NC-ND-4.0

Aquí doce esferas perfectamente reflectantes están dispuestas en un icosaedro.

Aubín Arroyo:
Tome algunas esferas perfectamente reflectantes y colóquelas en los vértices de un poliedro. Mientras que las esferas vecinas comparten un punto de tangencia, otras están disjuntas. Cada poliedro se encuentra dentro de una esfera no reflectante más grande que tiene un patrón. El patrón se refleja en las esferas más pequeñas una y otra vez. Un reflejo simboliza una inversión en una esfera. Todas las infinitas inversiones generan el conjunto límite de la acción de un grupo kleiniano, que es un fractal. Al usar reflejos en lugar de inversiones, se aproxima este fractal.

Bianca Violet:
Estas imágenes fueron creadas usando SURFER . Se han utilizado en exposiciones, para logotipos y otro tipo de fines.

Cestería cuasicristalina

Autor: Uli Gaenshirt
Licencia CC BY-NC-ND-3.0

Aunque la decoración de mimbre en el primer plano del gran gráfico fue diseñada con azulejos medievales girih (girih persa , nudo inglés ) , corresponde a la estructura atómica de un cuasicristal decagonal.

Adaptando los mosaicos girih a un moderno mosaico rómbico de Penrose , están generando un trabajo de mimbre girih con una buena aproximación a una simetría rotacional diez veces mayor. Sorprendentemente, los nudos creados corresponden a la geometría subyacente de un modelo de cobertura que se usa hoy en día.

Lyapunov Play

Autor: Luc Benard
Licencia CC BY-NC-S

Mario Markus del Instituto Max Planck de Fisiología Molecular ha utilizado sistemas dinámicos para estudiar la evolución de las poblaciones animales – el cambio en el tiempo de la alimentación, la fertilidad, el tamaño, etc. – con dinámicas que requieren la capacidad de reproducción para alternar casi periódicamente entre dos valores. Dichos sistemas pueden mostrar tanto un ciclo estable como una evolución caótica dependiendo de la tasa de fertilidad. La estabilidad o el caos se pueden analizar calculando el denominado exponente de Lyapunov. (Lyapunov fue un matemático ruso que vivió a finales del siglo XIX)

Las imágenes de Markus-Lyapunov son mapas de color del exponente de Lyapunov frente a la fertilidad, a lo largo de los ejes horizontal y vertical. Solo se traza el dominio de estabilidad; aquí, el caos ( es decir, el exponente positivo de Lyapunov) se representa en azul oscuro. A medida que el exponente va de 0 a menos infinito, las sombras van de claras a oscuras. En cero, el umbral del caos, el color salta repentinamente del azul oscuro a un tono más claro. Claramente, hay mucho que es arbitrario en este mapeo de color, y esto brinda la oportunidad de elegir en función de consideraciones estéticas. La imagen consta de siete imágenes originales de Markus-Lyapunov que fueron reconstruidas y superpuestas.

Zeta de Riemamn

Autor: Colonna Jean-Francois
Licence CC BY-NC-SA-3.0

Tridimensional display of the Riemann Zeta function inside (+0.1,+0.9)x(0,+50).
Here is the meaning of the three {X,Y,Z} display coordinates:
X = Re(Zeta(z))Y = Im(Zeta(z))Z = Re(z)

Clinch

Autor: Bianca Violeta
Licencia CC BY-SA-4.0

La fórmula: x² y² + y² z² + x² z² + xyz = 0
describe una forma, que fue descubierta por Jakob Steiner. Mientras estuvo en Roma en 1844, estudió sus propiedades geométricas, por lo que se llama superficie romana. Sin embargo, fue su amigo Karl Weierstraß, quien publicó por primera vez un artículo sobre la superficie y los resultados de Steiner en 1863, el año de la muerte de Steiner.

En la imagen hay 18 superficies romanas colocadas simétricamente alrededor del origen, cada superficie se traslada solo ligeramente fuera del origen a lo largo de uno o dos de los ejes de coordenadas, por lo que se cruzan entre sí. Además, en esta imagen solo se muestra una pequeña parte de todo el arreglo: todo dentro de una pequeña vecindad esférica del origen. Cualquier cosa fuera simplemente se corta.

Si bien la superficie romana no es orientable, lo que significa que no hay afuera ni adentro, solo un lado, el programa SURFER le asigna dos colores. Aquí cada superficie tiene un primer color brillante, mientras que el segundo color es negro, que también es el color de fondo.

Caramelo romano

Autor: Bianca Violeta
Licencia CC BY-SA-4.0

El Plano Proyectivo Real es el espacio de líneas en el espacio tridimensional real ( R3) que pasan por el origen. Cuando el matemático Jakob Steiner se quedó en Roma, pensó en un mapeo del Plano Proyectivo Real en R3. La superficie resultante se corta a sí misma. Ahora se llama Roman Surface o Steiner Surface.

Hay un punto triple en el origen y cada uno de los tres planos de coordenadas es tangencial a la superficie. Aparte del origen, los segmentos a lo largo de los ejes de coordenadas son puntos dobles, que terminan en seis puntos de pellizco.

En la imagen, se ve una superficie romana amarilla rodeada por seis partes de la superficie romana, que se unen en los puntos de pellizco, lo que enfatiza el alto grado de simetría de la superficie.

Cuártico de Kummer

Autor: Oliver Labs
Licencia CC BY-NC-SA-3.0

En 1875, Eduard Kummer fue la primera persona que planteó explícitamente cuál es el número máximo de singularidades en una superficie de un grado específico. En su caso el grado era 4 y se denominan cuarticas.

Demostró que para los cuarticos, no puede haber más de 16 singularidades.

Oliver Labs es un geómetra especializado en aspectos algorítmicos. Esto incluye la construcción de curvas y superficies interesantes, su visualización y el estudio de cualquier problema algorítmico que surja. Estas imágenes son superficies algebraicas con (sorprendentemente) muchas singularidades.

Mujer Enseñando Geometría Aperiódica

Autor: Uli Gaenshirt
Licencia CC BY-NC-ND-3.0

La estructura subyacente de esta imagen es un mosaico de Penrose rómbico cuasiperiódico (aperiódico) , una estructura geométrica utilizada para modelar cuasicristales decagonales.

La forma del área de color amarillo tiene una simetría rotacional diez veces mayor aunque su centro es asimétrico. Esta matriz se denomina comúnmente ac artwheel .

Adoptando 35 posiciones diferentes, la joven demuestra lo que significa hacer una voltereta . Como una alusión al difícil orden de un mosaico espacial romboédrico de Penrose, nos da 15 veces la espalda.

Barth Sextic

Autor: Oliver Labs
Licencia CC BY-NC-SA-3.0

Esta superficie de grado 6 (séxtico) fue construida por Wolf Barth en 1996. En total tiene 65 singularidades al contar también las 15 invisibles que están infinitamente lejos. 65 es el número máximo posible de singularidades en un séxtico como se muestra en 1997 por Jaffe y Ruberman.

La construcción de Barth fue una gran sorpresa: durante mucho tiempo los geómetras creyeron que una superficie de grado 6 no puede tener más de 64 singularidades. La simetría icosaédrica es una de las características más llamativas de la sexta de Barth. Pero no todos los sexticos con 65 tienen este tipo de simetria; ¡incluso existe una familia de superficies de 3 parámetros con 65 singularidades! En esta familia se pueden elegir tres parámetros casi al azar y siempre se obtiene un sexto con 65 singularidades. La ecuación exacta del sexto de Barth es P6 − αK2 = 0, donde P6 = ( τ2×2−y2)( τ2y2−z2)( τ2z2− x2), τ= (1+√5)/2 es la proporción áurea, α = ( 2τ+1)/4=(2+√5)/4 y K = x2+y2+z2−1 describe una esfera de radio 1.

Oliver Labs es un geómetra especializado en aspectos algorítmicos. Esto incluye la construcción de curvas y superficies interesantes, su visualización y el estudio de cualquier problema algorítmico que surja. Estas imágenes son superficies algebraicas con (sorprendentemente) muchas singularidades.

Hecatonicosachoron

Autores: Aurélien Alvarez, Étienne Ghys, Jos Leys
Licencia CC BY-NC-SA-3.0

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El Hecatonicosachoron. También llamado «120 celdas», este es un politopo regular en cuatro dimensiones. Es el análogo en cuatro dimensiones del dodecaedro tridimensional, que tiene 12 caras pentagonales, 20 vértices y 30 aristas.

El hecatonicosachoron tiene 120 ‘caras’, pero están en 4 dimensiones, por lo que en realidad son caras tridimensionales: ¡son todos dodecaedros! Las caras bidimensionales de estos dodecaedros son, por supuesto, pentágonos, y hay 720 de ellos. Hay 600 vértices y 1200 aristas.

Superficie mínimal discreta

Autor: Tim Hoffmann
Licencia CC BY-NC-SA-3.0

Si se introduce un alambre alabeado cerrado en un líquido jabonoso, al sacarlo se obtiene una película. Debido a la tensión superficial del líquido, esta película es una superficie en equilibrio, lo que implica, además, que es una superficie de área mínima.
Geométricamente, esta propiedad es equivalente a que la curvatura media H sea nula. A las superficies con esta propiedad se las llama superficies minimales.
Primeros ejemplos: el helicoide (escalera de caracol) y el catenoide (superficie de revolución de la catenaria). Además, éstas pueden ser deformadas una en la otra a través de una familia de superficies que siguen siendo minimales.
En esta imagen (del matemático Tim Hoffman) se muestra la discretización de una superficie minimal intermedia de dicha familia. La representación o el dibujo de superficies “suaves” utilizando círculos o discos planos (discretización) es una herramienta potente en visualización, arquitectura y diseño.