Para entender los sistemas complejos es fundamental caracterizar su dinámica

El caos y complejidad son inseparables. Para entender los sistemas complejos es fundamental caracterizar su dinámica y esta surge del caos. Caracterizar la dinámica de un sistema complejo es entender como surgen sus comportamientos, como se desarrollan y cambian con el tiempo. La teoría de sistemas dinámicos es la rama de la matemática que describe cómo cambian los sistemas. Incluye muchas subramas: cálculo, ecuaciones diferenciales, mapas iterados,…

Esta unidad se desarrolla entorno a los sistemas dinámicos iterados. (Ver el apartado 2.1.- EL PROCESO ITERATIVO) La iteración de comportamientos simples puede generar patrones complejos, en particular, las iteraciones en sistemas no lineales están en la base de los sistemas complejos.

Muchas de las explicaciones que se hacen en esta unidad se apoyan en modelos de agentes en NetLogo. Para una mejor comprensión de estos temas se mostrarán los enlaces para descargar dichos modelos. (Se supone que la aplicación NetLogo versión escritorio existe en el terminal donde se visualiza esta página. Existe la versión NetLogo Web pero es posible que algunos modelos causen errores que se deben corregir sobre la marcha)

Referencias y lecturas complementarias

1.- Para una visión histórica amplia ver el artículo «Historia de la física«

2.- Una introducción a los sistemas dinámicos en «Sistema dinámico»

2.1.- INTRODUCCIÓN: CONCEPTO DE CAOS

En esta introducción sobre los sistemas dinámicos se establecen la noción caos, y los conceptos determinismo causal, azar o aleatoriedad y caos determinista.

Referencias y lecturas complementarias

1.- El concepto de determinismo causal o científico se muestra en el artículo «Demonio de Laplace«

2.2.- EL PROCESO ITERATIVO

La forma más sencilla de interpretar matemáticamente el concepto de caos es mediante las funciones iteradas que describen, precisamente, procesos iterativos. Un proceso iterativo es, por ejemplo, el crecimiento poblacional puesto que la reproducción sucede una y otra vez y en cada momento se toma como inicio el estado anterior.

Para ver como se desarrolla el proceso iterativo con un modelo de NETLOGO hay un fichero (SimplePopulationGrowth_v_6.1.1.nlogo) se puede descargar aquí. Este modelo no tiene límite al crecimiento de la población, pero sirve para visualizar el proceso iterativo lineal. Mi transcripción es N02.- SimplePopulationGrowth

Cuando hacemos click en «Setup», inicia con una población de un individuo. La tasa de nacimiento (birth-rate) es dos, ya que en cada paso, el conejito produce dos crías y luego muere. Pulsando “Reproduce” podrás ver cómo pasa. Ahí están las dos crías.

Ahora, en el próximo paso, cada uno de los 2 conejos produce dos crías y muere. Esto pasa una y otra vez hasta que el mundo se llena rápidamente de conejitos.

Referencias y lecturas complementarias

1.- El concepto de iteración y temas derivados ver el artículo «Iteración» en la Wikipedia

2.3.- SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES

En matemáticas una función lineal es aquella que satisface las siguientes propiedades
.- Aditividad: f(x+y)=f(x)+f(y)
.- Homogeneidad: f(ax)=a*f(x)
Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen como principio de superposición.

En el modelo SimplePopulationGrowth_v_6.1.1.nlogo describe la dinámica de una función lineal.
El modelo nos muestra dos gráficas: arriba muestra la población n en el tiempo t . En cada periodo de tiempo, la población se duplica, subiendo rápidamente en un crecimiento exponencial 2t. Si seleccionamos 3 en la tasa de nacimientos, tendremos una función exponencial 3t . Otra forma de ver todo esto, es comparar la población del año pasado, nt, con la población de este año, nt+1: el crecimiento año a año es lineal.

En matemáticas, los sistemas no lineales son aquellos cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores, por lo tanto no se cumple la aditividad: f(x+y)<>f(x)+f(y).

Un sistema físico, matemático o de otro tipo es un sistema no lineal cuando las ecuaciones de movimiento, evolución o comportamiento que lo regulan son no lineales. En particular, el comportamiento de sistemas no lineales no está sujeto al principio de superposición, como lo está un sistema lineal.

El modelo logístico en NETLOGO dado por la ecuación no lineal puede descargarse aquí. Mi transcripción es N02.- LogisticModel

Referencias y lecturas complementarias

1.- Artículo «Principio de superposición«

2.- Artículo «Sistema no lineal«

2.4.- EL MAPA LOGÍSTICO

El desarrollo de esta sección sobre la dinámica del mapa logístico se hace con el modelo de NETLOGO que puedes descargar aquí. Mi transcripción es N02.- Logistic Map

¿Qué es un modelo?
Hay que decir dos cosas respecto al término modelo:
1º.- La palabra modelo es un término muy general usado en ciencias para cualquier representación simplificada de la Naturaleza, sea una ecuación, un programa de ordenador, un dibujo o cualquier otra cosa.
2º.- Aquí se está usando para referirse a una ecuación matemática, en este caso el mapa logístico.
~ Se dice modelo porque es una representación simplificada del fenómeno del crecimiento poblacional real.
~ ‘Modelo’ también se usa en referencia a un programa de computadora, en este caso escrito en Netlogo.
~ Los programas también son representaciones simplificada de fenómenos reales y por tanto modelos.

¿Qué es un atractor?

En la tabla de resultados del mapa logístico en el ejemplo anterior, se alcanza el valor de 0,5. Si se hubiera comenzado por otro valor inicial, por ejemplo x0 = 0,8, la iteración también terminará en 0,5 .Este valor de 0,5 se dice que es un atractor para este sistema porque está, en algún sentido, atraído a él.

Cuando un sistema termina en un valor determinado, en este caso 0,5 este valor es un punto fijo y es llamado un atractor de punto fijo.

Hay que hacer notar que aquí, sistema se refiere a esta ecuación con R = 2. (A veces el término modelo y sistema son usados como sinónimos)

Referencias y lecturas complementarias

1.- La gráfica de la población frente al tiempo es, en matemáticas la «Función logística«

2.5.- DINÁMICA DEL MAPA LOGÍSTICO

Si hablamos de la dinámica final quiere decirse: a qué tipo de atractor converge el sistema tras un determinado periodo, si es que hay alguna convergencia. En cualquier modelo de iteración, el valor inicial x0 no tiene efecto sobre el atractor del sistema.

Atractor de punto fijo

En esta tabla se muestra los resultados del mapa logístico variando el parámetro R entre 0,2 y 4,0 variando pasos de 0,2. La tabla viene a mostrar que si 1 < R < 3 el mapa logístico converge a un punto fijo-

La dinámica del modelo también indica que R determina el número de iteraciones necesarias para alcanzar el punto fijo. La secuencia de estos números describe una forma parabólica con un mínimo en 2.

Atractor periódico con periodo 2

Cuando R = 3,1 el sistema se estabiliza en dos valores alternativos, en este caso xt y xt+1 toman valores 0,7646 y 0,558. Cuando el sistema oscila indefinidamente entre 2 valores se dice que es un atractor periódico con periodo 2, (se repite cada 2 unidades de tiempo). Cuando R= 3,2 el sistema presenta el mismo tipo de dinámica, periódica de periodo 2 pero con valores diferentes a los que hay cuando R=3,1, (ahora oscila entre 0,513 y 0,7995). El estado del sistema toma valores particulares en cada caso.

Atractor periódico con periodo > 2

Cuando R= 3,5 el sistema presenta una oscilación pero ahora es con 4 estados diferentes en los puntos 0,875; 0,3828; 0,8269 y 0,5009 Variando el valor de R por encima de 3,5 se generan atractores periódicos de periodo 4, 8, 16, 32, etc. Hasta que, finalmente, alcanzamos un estado en el que ya no tenemos ningún atractor periódico. Lo vemos cuando movemos R al caso extremo de 4. Lo que veremos es que el sistema empieza comportarse de manera aleatoria. Así que si la tasa de crecimiento es 4 resulta muy difícil predecir cuál será el estado del sistema tras un periodo de tiempo sin iterar el sistema por completo.

En resumen, como puede comprobarse en el modelo de NetLogo, a medida que varía la tasa de crecimiento R varía desde 0 hasta 4 se observan los siguientes comportamiento es la población:

Referencias y lecturas complementarias

1.- El mapa logístico y los conceptos relacionados pueden verse en «Aplicación logística»

2.6.- SENSIBILIDAD A LAS CONDICIONES INICIALES

El fenómeno de la sensibilidad a las condiciones iniciales se refiere al hecho de que cambios muy pequeños en las condiciones iniciales de sistemas caóticos (en x0) son amplificados enormemente con el orden de la iteración.

En la introducción se dijo que caos significa dependencia sensible a las condiciones iniciales. Podemos ver cómo funciona todo esto descargando y abriendo el modelo llamado «SensitiveDependence.nlogo«, (mi transcripción es N02.- Logistic Map Sensitive Dependence) Estas son las conclusiones:

2.7.- DIAGRAMA DE BIFURCACIÓN

Un diagrama de bifurcación muestra los valores visitados o abordados asintóticamente (puntos fijos, órbitas periódicas o atractores caóticos ) de un sistema en función de un parámetro de bifurcación en el sistema. Es decir, muestra todos los atractores que se van alcanzando a medida que este parámetro evoluciona hasta R = 4.

El modelo de NetLogo que permite explorar el diagrama de bifurcación, puede descargarse de aquí. Mi transcripción es N02.- Explorador del diagr. bifurcación

diagrama de bifurcación
Es interesante señalar que, después de cada ‘zona’ dominada por el caos, vuelven los atractores periódicos

2.8.- CONSTANTE DE FEIGENBAU

Feigenbaum demostró que estas bifurcaciones ocurren más y más rápido conforme aumenta R, es decir, cuando R va de 2,4 a 3,0, hay un intervalo largo; después, de 3,0 a 3,4 el intervalo se acorta; y así en los siguientes intervalos entre valores de R:

Referencias y lecturas complementarias

1.- Artículo «Números de Feigenbaum»

2.- En la referencia anterior se enlaza con la enciclopedia en línea de secuencias de números enteros, «OEIS«. En ella se pueden ver las constantes más famosas. Además de mostrar la secuencia numérica, permite ver su gráfica, su historia o, incluso, escuchar como suena con distintos instrumentos. La expansión de la constante de Feigenbaum tiene la referencia «A006890«

2.9.- CONCLUSIONES