INFORMACIÓN
WHAT IS IT?
Helge von Koch fue un matemático sueco que, en 1904, introdujo lo que ahora se llama la curva de Koch.
Esta curva no contiene líneas rectas que sean suaves en el sentido de que podríamos verlas como una línea
cuidadosamente doblada. Más bien, esta curva tiene mucha de la complejidad que podríamos ver en una costa natural: pliegues dentro de pliegues dentro de pliegues y así sucesivamente. La motivación de Koch para encontrar esta curva fue proporcionar otro ejemplo del descubrimiento realizado por el matemático alemán Karl Weierstrass, quien en 1872 había propiciado una crisis menor en las matemáticas. Había descrito una curva que no se podía diferenciar (no tenía tangente) en ninguno de sus puntos. La capacidad de diferenciar es fundamental para el cálculo diferencial y durante mucho tiempo se asumió que las curvas tienen líneas tangentes en casi todas partes.
HOW IT WORKS
Aquí hay una construcción geométrica simple de la curva de Koch. Empiece con una línea recta. Este objeto inicial también se denomina «iniciador». Divídalo en tres partes iguales. Luego reemplaza el tercio medio por un triángulo equilátero y quita su base. Esto completa el paso básico de construcción.
Una reducción de esta cifra, compuesta por cuatro partes, se utilizará en las siguientes etapas. Se llama «generador». Por lo tanto, ahora repetimos, tomando cada uno de los segmentos de línea resultantes y dividiéndolos en tres partes iguales, y así sucesivamente. La siguiente figura ilustra este proceso iterativo.
____________ Paso 0: «Iniciador»
/\
/ \
/ \
____/ \____ Paso 1: "Generador"
_/\_
\ /
__/\__/ \__/\__ Paso 2La autosimilitud está incorporada en el proceso de construcción. Cada parte de las cuatro partes en el k-ésimo paso es nuevamente una versión reducida por el factor de 3 de la curva completa en el paso anterior (k-1) -st.
Analicemos ahora la longitud de la curva de Koch. Después de la primera iteración tenemos una curva que está formada por cuatro segmentos de línea de la misma longitud, después de la segunda iteración tendremos cada uno de los cuatro segmentos dividido en cuatro segmentos más, es decir, dieciséis segmentos y así sucesivamente. Después de cada iteración, aumentamos el número de segmentos en un factor de cuatro.
Si denotamos el número de segmentos después de k pasos por S(k) entonces matemáticamente:
S(k) = 4k
Ahora bien, si el segmento inicial tuviera una longitud L, la longitud de cada uno de los cuatro segmentos obtenidos después de la primera etapa sería L / 3. Después del segundo paso, la longitud de cada uno de los dieciséis segmentos es (L/3)/3 o L / 9. Denotando la longitud de cada segmento durante la k-ésima iteración por L (k) podemos escribir:
L(k) = L / (3k)
Multiplicando el número de segmentos por la longitud de cada segmento obtenemos la siguiente expresión para la longitud de la curva de Koch después de k pasos de construcción:
L*(3/4)k
Claramente, la longitud crece exponencialmente con el número de iteraciones, por lo que, de hecho, la longitud de toda la curva de Koch es infinita, al igual que la longitud del arco entre cualquiera de sus dos puntos. Por tanto, puede resultar sorprendente que el área encerrada por la curva de Koch sea finita; la prueba de esto la dejamos como ejercicio para el lector.
HOW TO USE IT
Reinicie el programa presionando el botón SETUP. Esto limpiará el mundo, creará el iniciador e inicializará los globales. Presione repetidamente el botón STEP. Cada vez que presiona este botón, se itera el algoritmo de construcción y verá aproximaciones sucesivas de la curva de Koch.
THINGS TO NOTICE
¿Qué sucede con la longitud total de la curva a medida que avanza la iteración?
THINGS TO TRY
Intente ejecutar el modelo a través de varias iteraciones. ¿Puedes ver cómo el diseño recursivo está cambiando de una iteración a otra? Tenga en cuenta que cada iteración sucesiva tarda más en calcularse. Dependiendo de la velocidad de su máquina, las iteraciones con números altos pueden llevar mucho tiempo.
EXTENDING THE MODEL
Puede combinar tres copias de la curva de Koch para formar una curva cerrada llamada copo de nieve de Koch. Intente escribir un programa que dibuje esta curva. ¿Puedes pensar en otros iniciadores y generadores? Intente implementar algunos. ¿Puede caracterizar qué iniciadores y generadores conducen a «formas interesantes»?
NETLOGO FEATURES
Observe cómo las curvas están formadas por muchas tortugas, todas siguiendo las mismas reglas. Además, tome nota del uso del comando hatch para crear todas las tortugas mediante la «clonación» repetida de una sola tortuga semilla. Parece que el modelo usa vínculos, pero no los usa. Para hacer círculos y líneas, solo usa una forma especial de tortuga (un círculo con una línea que sobresale).
